Ділення

Ді́лення, заст. ділі́ння — у математиці одна з чотирьох базових арифметичних операцій (іншими є додавання, віднімання, множення). Ділення натуральних чисел — це процес розрахунку кількості, скільки разів одне число міститься в другому числі.^:7 Наприклад, на малюнку праворуч 20 яблук розділено на чотири групи по п'ять яблук, це означає, що двадцять розділене на п'ять дорівнює чотири, або чотири є результатом ділення двадцяти на п'ять. Це позначається як 20 / 5 = 4, 20 ÷ 5 = 4, або 20/5 = 4.

${\displaystyle 20\div 5=4}$

Ділення має два операнди:

• ділене — число (чи математичний об'єкт), який ділять;
• дільник — число (чи математичний об'єкт), на який ділять.

Результат ділення називають часткою.

Під час ділення потрібно знайти таку частку ${\displaystyle ~x}$, яка при множенні на дільник ${\displaystyle ~b}$ дала б ділене ${\displaystyle ~a}$.

${\displaystyle \ x=a/b\quad \iff \quad x\cdot b=a.}$

Ділення чисел позначають:

• двокрапкою ${\displaystyle \ 6:3=2,}$
• знаком ${\displaystyle \ 6\div 3=2,}$
• скісною рискою ${\displaystyle \ 6/3=2,}$
• або дробом ${\displaystyle {\frac {6}{3}}=2,}$ в чисельнику якого записують ділене, а в знаменнику — дільник.

Ділення — бінарна операція, обернена множенню; тобто якщо a × b = c, тоді a = c ÷ b, за умови що b не є нулем. Ділення на нуль для дійсних чисел і в більшості інших випадків є невизначеним,^:246 оскільки, якщо b = 0, тоді a не можна отримати із b і c, оскільки тоді c завжди дорівнюватиме нулю незалежно від a.

Розрахунок

Докладніше: Ділення стовпчиком

Методи ділення вручну

Ділення зазвичай пояснюють як процедуру розділення множини об'єктів, наприклад яблук, на деяку задану кількість частин. Розділення об'єктів по одному, з повторенням процедури по колу, веде до методу ^[en]», тобто ділення виконується за допомогою повторюваних кроків віднімання.

Систематизованіше й ефективніше, і водночас формалізованіше й на основі правил, людина, яка знає таблицю множення, може поділити два цілих числа за допомогою розрахунків на папері, використовуючи метод ^[en], якщо дільник є простим числом. Для більших значень дільників застосовують процедуру ділення стовпчиком. Якщо частка має дробову частину (задану у вигляді десяткового дробу), алгоритм ділення можна продовжити і розрахувати необхідну кількість значень після коми. Якщо дільник має дробову частину для виконання розрахунку можна перемістити знак коми праворуч, щоб дільник став цілим числом, і виконати розрахунок як для цілих чисел.

Ділення можна розрахувати за допомогою рахівниці, перемістивши необхідне число декілька разів, а потім підрахувати кількість зсувів у підсумку.

Для ділення двох чисел можна застосувати логарифмічні таблиці, віднявши логарифми двох чисел, а потім знайшовши логарифм результату віднімання.

За допомогою комп'ютера

Сучасні комп'ютери розраховують операцію ділення за допомогою методів, що є швидшими від методу довгого ділення. Наприклад, Ділення із залишком, див. ^[en].

У модульній арифметиці (модуль простого числа) і для дійсних чисел ненульові числа мають обернене за модулем число. В таких випадках ділення на число x можна розрахувати як добуток на обернене число x. Цей підхід зазвичай є найефективнішим.

Властивості

Ділення є дистрибутивною справа для операцій додавання і віднімання. Це означає:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}=(a+b)\div c={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}}$

так само як і при множенні ${\displaystyle (a+b)\times c=a\times c+b\times c}$. Але ділення не є дистрибутивним зліва, тобто

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}=a\div (b+c)=\left({\frac {b}{a}}+{\frac {c}{a}}\right)^{-1}\neq {\frac {a}{b}}+{\frac {a}{c}}}$

на відміну від множення.

Якщо виконується декілька операцій ділення, вони виконуються в порядку як вони записані в рядок зліва направо, це називається асоціативністю зліва:

${\displaystyle a\div b\div c=(a\div b)\div c=a\div (b\times c)=a\times b^{-1}\times c^{-1}}$.

Обернений елемент

Ділення еквівалентне множенню на обернений елемент:

${\displaystyle \ a/b\;=\;a\cdot {\frac {1}{b}}}$

Таке визначення ділення, зазвичай, застосовують для складних математичних об'єктів.

Ліве та праве ділення

Операція множення для складних математичних об'єктів не завжди є комутативною, тому, рівняння ${\displaystyle \ ax=b}$ та ${\displaystyle \ xa=b}$ можуть мати різні розв'язки.

У зв'язку з цим використовуються терміни правого та лівого ділення згідно з розв'язками зазначених рівнянь чи множення зліва / справа на обернений елемент:

${\displaystyle \ ax=b\quad \iff \quad x=a^{-1}\cdot b}$

${\displaystyle \ xa=b\quad \iff \quad x=b\cdot a^{-1}}$

Ділення раціональних чисел

Очевидно, що результат ділення цілого числа на ціле число не завжди буде цілим. Замкнутими відносно ділення є раціональні числа.

Для обчислення ділення раціональних чисел використовують множення на число обернене до дільника:

${\displaystyle {p \over q}\div {r \over s}={p \over q}\cdot {s \over r}={ps \over qr}.}$

Ділення дійсних чисел

Ділення двох дійсних чисел дає в результаті інше дійсне число, коли дільник не 0. Воно буде визначене наступним чином a/b = c тоді і лише тоді, коли a = cb і b ≠ 0.

Ділення на нуль

Докладніше: Ділення на нуль

Зовнішні відеофайли
	1. Чому не можна ділити на нуль // Канал «Цікава наука» на YouTube, 9 квітня 2020.

Ділення будь-якого числа на нуль (коли дільник дорівнює нулю) є невизначеним. Це тому, що множення будь-якого скінченного числа на нуль завжди в результаті дає нуль. Якщо ввести такий вираз у калькулятор, більшість з них напише повідомлення про помилку.

Ділення комплексних чисел

Для того, щоб поділити комплексне число ${\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1}\,}$ на комплексне число ${\displaystyle z_{2}=x_{2}+iy_{2}\,}$ потрібно записати частку у вигляді дробу, а потім домножити чисельник і знаменник на число спряжене до знаменника

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}={\frac {z_{1}\cdot {\bar {z}}_{2}}{z_{2}\cdot {\bar {z}}_{2}}}={\frac {(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}}={\frac {(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}$

Ділення матриць

Для обчислення ділення матриць використовують домножання на матрицю обернену до дільника. А оскільки множення матриць не є комутативним, то можливе праве та ліве ділення. Якщо дільник є виродженою матрицею (тобто, для неї не існує оберненої), то можливе використання псевдооберненої матриці.

Див. також

• Ділення стовпчиком
• Ділення з остачею
• Ділення многочленів

Примітки

1. Діління // Словарь української мови : в 4 т. / за ред. Бориса Грінченка. — К. : Кіевская старина, 1907—1909.
2. Blake, A. G. (1887). Arithmetic. Dublin, Ireland: .
3. Weisstein, Eric W. Division(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
4. Derbyshire, John (2004). Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York City: Penguin Books. ISBN 978-0452285255.
5. George Mark Bergman: Order of arithmetic operations [Архівовано 20 травня 2020 у Wayback Machine.]
6. Education Place: The Order of Operations [Архівовано 21 липня 2020 у Wayback Machine.]

Джерела

• Погребиський Й. Б. Арифметика. — Київ : Освіта, 1953.(укр.)
• Дрозд Ю. А. (1997). Теорія алгебричних чисел (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 82. ISBN 966-594-019-8. (укр.)