Проєкція Ван дер Ґрінтена

Проєкція Ван дер Ґрінтена — компромісна картографічна проєкція, що не є ні рівновеликою, ні рівнокутною. Вона проєктує поверхню Землі в коло, максимальні викривлення утворюються біля полюсів. Проєкцію 1904 року запропонував Альфонс ван дер Ґрінтен. Вона стала відомою, коли Національне географічне товариство 1922 року затвердило її як стандартну карту. Це звання карта утримувала до 1988 року.

Проєкція Ван дер Ґрінтена для Землі

Геометрична структура

Проєкція виражається такими формулами:

${\displaystyle x={\frac {\pm \pi \left(A\left(G-P^{2}\right)+{\sqrt {A^{2}\left(G-P^{2}\right)^{2}-\left(P^{2}+A^{2}\right)\left(G^{2}-P^{2}\right)}}\right)}{P^{2}+A^{2}}}\,;}$

${\displaystyle y={\frac {\pm \pi \left(PQ-A{\sqrt {\left(A^{2}+1\right)\left(P^{2}+A^{2}\right)-Q^{2}}}\right)}{P^{2}+A^{2}}},}$

де ${\displaystyle x\,}$ має той же ж знак, що і ${\displaystyle \lambda -\lambda _{0}\,}$, а ${\displaystyle y\,}$ — той, що і ${\displaystyle \phi \,}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left|{\frac {\pi }{\lambda -\lambda _{0}}}-{\frac {\lambda -\lambda _{0}}{\pi }}\right|;}$

${\displaystyle G={\frac {\cos \theta }{\sin \theta +\cos \theta -1}};}$

${\displaystyle P=G\left({\frac {2}{\sin \theta }}-1\right);}$

${\displaystyle \theta =\arcsin \left|{\frac {2\phi }{\pi }}\right|;}$

${\displaystyle Q=A^{2}+G\,.}$

Якщо ${\displaystyle \phi =0\,}$, тоді:

${\displaystyle x=\left(\lambda -\lambda _{0}\right)\,;}$

${\displaystyle y=0\,.}$

Якщо ${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}\,}$ або ${\displaystyle \phi =\pm \pi /2\,}$, тоді:

${\displaystyle x=0\,;}$

${\displaystyle y=\pm \pi \tan {\theta /2}.}$

У всіх формулах ${\displaystyle \phi \,}$ — широта, ${\displaystyle \lambda \,}$ — довгота, ${\displaystyle \lambda _{0}\,}$ — центральний меридіан проєкції.

Див. також

• Перелік картографічних проєкцій

Примітки

1. Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections, John P. Snyder, 1993, pp.258-262, ISBN 0-226-76747-7.
2. Snyder, John P. Map Projections: A Working Manual. pubs.er.usgs.gov. Архів оригіналу за 17 травня 2011. Процитовано 10 лютого 2016.

Посилання

• Projections by Van der Grinten, and variations. Архів оригіналу за 18 травня 2012. Процитовано 10 лютого 2016.
• U.S. Patent 751 226
• US patent No. 751226 [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.].