-1 (число)

Мі́нус оди́н, −1 — це ціле число, більше, ніж (−2), і менше, ніж 0. Число −1 — протилежне число для 1, тобто, при додаванні цього числа до 1 в результаті утворюється 0. Найбільше від'ємне ціле число.

Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»
Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&» Список чисел — Цілі числа Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»
Кількісний числівник	Invalid decimal numeral
	-1 (Invalid decimal numeral)
Факторизація	Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»
Грецька система числення	Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»
Римська система числення	Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»
Двійкове число	Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»
Трійкове число	Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»
Четвірко́ве число	Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»
П'ятіркове число	Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»
Шісткове число	Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»
Вісімкове число	Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»
Дванадцяткове число	Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»
Шістнадцяткове число	Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»
Двадцяткове число	Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»
	Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «&»

Алгебричні властивості

Мінус одиниця має ряд властивостей, схожих із властивостями числа 1.

• Множення на мінус одиницю зберігає модуль множника, але зі зміною знака:

${\displaystyle (-1)\cdot x=-x}$

Це можна довести, скориставшись розподільним законом і аксіомою, що 1 є нейтральним елементом:

x + (−1) ⋅ x = 1 ⋅ x + (−1) ⋅ x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0.

Тут ми використали той факт, що будь-яке число x помножене на 0 дорівнює 0, що отримується скороченням з рівняння

0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x.

0, 1, −1, i та − i в комплексній або декартовій площині

Іншими словами,

x + (−1) ⋅ x = 0,

отже (−1) ⋅ x є адитивно оберненим до x, тобто (−1) ⋅ x = −x, що й потрібно було довести.

Квадрат −1

Квадрат −1, тобто −1, помножене на −1, дорівнює 1. Як наслідок, добуток двох від'ємних чисел є додатним.

Алгебричне доведення цього результату почнемо з рівняння

0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)].

Перша рівність випливає з наведеного вище результату, а друга — з визначення −1 як адитивно оберненої до 1: саме це число, додане до 1, дає 0. Тепер, використовуючи розподільний закон, маємо

0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1).

Третя рівність випливає з того факту, що 1 є нейтральним елементом. Але тепер додавання 1 до обох частин цього останнього рівняння означає

(−1) ⋅ (−1) = 1.

Наведені вище аргументи справедливі в будь-якому кільці, концепції абстрактної алгебри, що узагальнює цілі та дійсні числа.

Квадратні корені з −1

Хоча не існує дійсних квадратних коренів з −1, комплексне число i задовольняє i² = −1, і тому його можна розглядати як квадратний корінь з −1. Єдине інше комплексне число, квадрат якого дорівнює −1, — це −i оскільки існує рівно два квадратних корені з будь-якого ненульового комплексного числа, що випливає з основної теореми алгебри. В алгебрі кватерніонів — де основна теорема не застосовується — які містять комплексні числа, рівняння x² = −1 має нескінченно багато розв'язків.

Піднесення до цілого від'ємного степеня

Піднесення до степеня ненульового дійсного числа можна розширити до цілих від'ємних чисел. Приймемо, що x⁻¹ = 1/x, тобто, ототожнимо піднесення до степеня −1 зі знаходженням оберненого числа. Тоді це визначення можна поширити на цілі від'ємні числа, зберігши правило піднесення до степеня x^ax^b = x^{(a + b)} для дійсних ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$.

Піднесення до від'ємного цілого степеня можна поширити на обернені елементи кільця, визначивши x⁻¹ як мультиплікативне обернене до x.

Показник −1 біля назви функції, не означає, що слід взяти (поточково) обернені значення цієї функції, а є позначенням оберненої функції. Наприклад, sin⁻¹(x) є позначенням функції арксинуса, а загалом f ⁻¹(x) позначає функцію, обернену до f(x).

Використання

• У розробці програмного забезпечення −1 є зазвичай початковим значенням для цілих чисел і також використовується, щоб показати, що змінна не містить корисної інформації.
• −1 пов'язане з тотожністю Ейлера, оскільки e^iπ = −1.

Примітки

1. Imaginary Numbers. Math is Fun. Архів оригіналу за 4 січня 2021. Процитовано 15 лютого 2021.
2. Weisstein, Eric W. Imaginary Number. MathWorld. Архів оригіналу за 20 квітня 2021. Процитовано 15 лютого 2021.