Слово (теорія груп)

Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проекту.

У теорії груп слово — скінченна послідовність, яка для кожного її елемента може також містити обернений до нього.

Слова відіграють роль у заданні груп, а також є одними з центральних об'єктів в комбінаторній теорії груп.

Означення

Нехай ${\displaystyle S=\{s_{i}\mid i\in I\}}$ — непорожня множина символів, проіндексована елементами з I. Будемо називати цю множину алфавітом, а її елементи — буквами. Через S^-1 позначимо множину ${\displaystyle \{s_{i}^{-1}\mid i\in I\}.}$

Груповим словом в алфавіті S називається або порожня, або скінченна послідовність букв із ${\displaystyle S\cup S^{-1}.}$

Запис слів

Для скорочення запису групового слова можна використовувати піднесення до степеня. Наприклад, слово

${\displaystyle xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,}$

можна переписати як

${\displaystyle x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}.\,}$

Отриманий вираз не є власне словом в заданому алфавіті ${\displaystyle \{x,y,z\}}$ — а коротший запис початкового слова.

При роботі з довгими словами також може бути корисним використання надрядкової риски для позначення обернених елементів. Наведене вище слово з використанням цього позначення має наступний запис:

${\displaystyle x^{2}{\overline {y}}zyz^{3}{\overline {x}}^{2}.\,}$

Скорочення слів

Слово називається нескоротним, якщо воно або пусте, або у ньому не містяться поруч символи ${\displaystyle s_{i}^{k}}$ та ${\displaystyle s_{i}^{-k},}$ де ${\displaystyle k=\pm 1.}$ Інакше, воно називається скоротним.

Для кожного скоротного слова існує єдине нескоротне слово, до якого його можна звести, тобто скоротити. Наприклад,

${\displaystyle y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow \;\;y^{-1}zy.}$

Два слова називають сусідніми, якщо одне з них дорівнює ${\displaystyle x_{1}\dots x_{j}x_{j+1}\dots x_{n},}$ а інше — ${\displaystyle x_{1}\dots x_{j}s_{i}^{k}s_{i}^{-k}x_{j+1}\dots x_{n},}$ де ${\displaystyle x_{i}\in S\cup S^{-1}}$ та ${\displaystyle k=\pm 1.}$

Операції над словами

Приписуванням (або добутком) двох слів ${\displaystyle u=x_{1}x_{2}\dots x_{n}}$ та ${\displaystyle v=y_{1}y_{2}\dots y_{m}}$, де ${\displaystyle x_{i},y_{j}\in S\cup S^{-1},}$ називається слово ${\displaystyle x_{1}x_{2}\dots x_{n}y_{1}y_{2}\dots y_{m},}$ яке позначається через ${\displaystyle uv.}$

Наприклад,

${\displaystyle \left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y.}$

Звідси результатом приписування двох нескоротних слів може бути скоротне слово.

Оберненим словом до слова ${\displaystyle w=z_{1}z_{2}\dots z_{r}}$, де ${\displaystyle z_{i}\in S\cup S^{-1},}$ називається слово ${\displaystyle z_{r}^{-1}\dots z_{2}^{-1}z_{1}^{-1},}$ яке позначається через ${\displaystyle w^{-1},}$ причому ${\displaystyle \left(s_{i}^{-1}\right)^{-1}=s_{i}.}$

Наприклад,

${\displaystyle \left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}.}$

Еквівалентні слова

Два слова u та v називаються еквівалентними, якщо для них можна побудувати таку скінченну послідовність слів ${\displaystyle w_{1},w_{2},\dots ,w_{d},}$ що ${\displaystyle w_{1}=u}$, ${\displaystyle w_{d}=v,}$ а ${\displaystyle w_{i}}$ та ${\displaystyle w_{i+1}}$ є сусідніми словами при ${\displaystyle i=1,\dots ,d-1.}$ Позначення: ${\displaystyle u\sim v.}$

Можна показати, що задане відношення ${\displaystyle \sim }$ є відношенням еквівалентності. Причому кожен клас еквівалентності за даним відношенням містить тільки одне нескоротне слово.

Вільна група

Докладніше: Вільна група

Нехай ${\displaystyle F(S)=\{[u]\mid u}$ — слово в алфавіті ${\displaystyle S\}.}$ На цій множині можна визначити операцію приписування (або добутку) наступним чином:

${\displaystyle [u][v]=[uv].}$

Можна довести, що ${\displaystyle F(S)}$ разом із заданою на ній вище операцією утворює групу. Ця група називається вільною з системою твірних S, а потужність S називається її рангом.

Література

• Ганюшкін О. Г., Безущак О. О. Теорія груп: Навчальний посібник для студентів механіко–математичного факультету. — Київ : ВПЦ "Київський університет", 2005. — С. 64-70.
• Epstein, David; Cannon, J. W.; Holt, D. F.; Levy, S. V. F.; Paterson, M. S.; Thurston, W. P. (1992). Word Processing in Groups. AK Peters. ISBN 0-86720-244-0..
• Robinson, Derek John Scott (1996). A course in the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94461-3.
• Rotman, Joseph J. (1995). An introduction to the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
• Schupp, Paul E; Lyndon, Roger C. (2001). Combinatorial group theory. Berlin: Springer. ISBN 3-540-41158-5.
• Solitar, Donald; Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham (2004). Combinatorial group theory: presentations of groups in terms of generators and relations. New York: Dover. ISBN 0-486-43830-9.